Сравнение телескопов с разными апертурой и светосилой

[Mr.Selderei]

Мне давно не даёт покоя вопрос: как сравнивать количество собираемого света(экспозицию при фото) телескопами разных апертур и фокусных расстояний.

В случае если мы имеем два телескопа с одинаковыми фокусными расстояниями, но разными апертурами - вопрос решается простым соотношением площадей апертур.

Если мы имеем два телескопа с разными фокусными и одинаковыми апертурами, вопрос тоже решаем, но посложнее.

Но что делать если сравнивать два телескопа с произвольным значением апертуры и фокусного расстояния? В процессе обдумывания этого вопроса я пришёл к формуле. Сразу запишу её, чтобы вы могли её либо подтвердить, либо опровергнуть. Вот она:

Если мы имеем два телескопа с произвольными значениями апертуры и фокусного расстояния, то соотношение собираемого и распределяемого ими света будет равняться квадрату отношения их относительных отверстий.

(A/a)^2[align=center][/align]

[Mr.Selderei]

Теперь я хочу показать как я её вывел. Мне очень интересно, правильно ли я мыслил и к правильному ли выводу пришел(формула сверху).

Вывод формулы предельно простой. Но с физикой понятий о свете я не очень знаком, поэтому использую чисто геометрические соображения на уровне 7 класса школы Прошу не пинать ногами за произвольную трактовку таких понятий как "поток света" и "количество света". Важен результат.

Картинка тут - http://fotki.yandex.ru/next/users/mega- ... een/760333" onclick="window.open(this.href);return false;
Почему то не получается вставить изображение сразу сюда.

Пусть у нас есть два телескопа с фокусными расстояниями f и F, и диаметрами d и D соответственно. Они видят объект под углом "фи" и строят его изображения в своих фокальных плоскостях. Из подобия треугольников очевидно, что:

[align=center]f/F=r/R (1)[/align]

Запомним это и пойдем дальше. Пусть в телескоп с f попадает поток света "p", а в телескоп с F - поток света "P". Они строят изображения в виде кругов радиусов r и R соответственно. Эти потоки света рассеиваются на определенные площади. Создавая освещенности l и L. Чем на большую площадь рассеивается поток света, тем меньше её освещенность. Поэтому "освещенность" я определяю как "поток" делённый на площадь. т.е.

[align=center]l=p/s
L=P/S[/align]
Где s и S - площади кругов изображения соответственно.
Потоки света P и p пропорциональны площадям объективов т.е. их отношение равняется отношению этих площадей:

P/p=S объектива /s объектива = ((pi*D^2) /4 ) / (pi*d^2)/4 ) = (D/d)^2 т.е.

[align=center]P/p = (D/d)^2 (2)[/align]

Нас интересует отношение освещённостей L/l. Как было определено выше, освещенность это поток деленный на площадь. т.е.

L/l = (P/S) / (p/s) = P/p * s/S , подставляя сюда значения из формулы (2) и получаем: L/l = (D/d)^2 * (s/S). Но s/S = (r/R)^2 значит:

L/l = (D/d)^2 * (r/R)^2 Далее подставляем сюда значения из формулы (1) и получаем:

[align=center]L/l = (D/d * f/F)^2 (3)[/align]

Если перегруппировать:

L/l = (D/F * f/d)^2

Но D/F и d/f - это есть не что иное как относительные отверстия "A" и "a" соответственно. С этими обозначениями формула принимает вид:

[align=center]L/l = (A/a)^2[/align]

Готово.

Сравним по числам например. Возьмем два телескопа 250 f/4 и 250 f/5. Из этой формулы следует, что L/l = ( 5/4)^2 = 1,56. т.е. телескоп с f/4 собирает и распределяет света в 1,56 раз больше. Отсюда же можно вывести шкалу диафрагм, если полагать, что L/l = 2, то получаем всем известный ряд цифр: 2, 2.8, 4, 5.6, 8, 11 и т.д. Сравним теперь например телескопы ED80мм f/6,375(с редуктором) и SW200мм f/5. Имеем: L/l = (6,375/5)^2 = 1,6. т.е SW2001 собирает и распределяет на 1000-мм мастштаб света в 1,6 раз больше, чем ED80 на 510-мм мастшаб.

Вот так вот получилось. Очень интересно узнать насколько это верно и соответствует ли действительности.

[Дмитрий Фролов]

Юрий, привет! Это общеизвестная формула, ты прямо как КО в данном случае, только не обижайся Выводится короче - что-то намудрил, но красиво. Поэтому второй пост сейчас не осилю - т.к. спать уже собрался, завтра прочту.

Короче вот так. Т.к. размер изображения в фокальной плоскости пропорционален фокусному расстоянию, а освещённость пропорциональна квадрату апертуры и обратно пропорциональна площади изображения, т.е. квадрату линейного размера изображения (т.е. квадрату фокуса), то отсюда просто заключаем, что освещённость пропорциональна квадрату отношения апертуры к фокусу, т.е. пропорциональна квадрату относительного (получилась эта формула, только в словесной записи). Вот и всё по сути! Если буквами записать - будет много короче.

Что тут не учтено? Центральное экранирование и коэффициент пропускания системы (т.е. потери света на оптике).

[Mr.Selderei]

Спасибо, Дмитрий!

Я не обижаюсь, особенно учитывая что я не знаю, что такое "КО"
Это оно выглядит страшно, на самом деле выводится в несколько строк, просто тут расписал с объяснениями. ЦЭ и светопотери - да, не учитывал, но про них не забыл. Значит, это общеизвестная формула... может ты знаешь какой-нибудь источник или книгу где об этом говориться подробнее?

[Denk36]

Я не обижаюсь, особенно учитывая что я не знаю, что такое "КО"

Капитан-Очевидность

[Mr.Selderei]

Ааа... Как я не догадался, это же должно быть очевидным

[Дмитрий Фролов]

Подробнее? Не уверен. А так, у Куликовского например, вот здесь:

http://books.google.ru/books?id=R5r7AgA ... BE&f=false" onclick="window.open(this.href);return false;

А вот в обозначениях.

Освещённость L ~ S/x ~ D^2/F^2 ~ A^2, где

S - квадрат апертуры, т.е. площадь
x - площадь изображения
D - апертура
F - фокус
A - относительное (D/F)
~ - "пропорционально"

Т.е. чисто из геометрических соображений получаем, что освещённость, создаваемая объективом, пропорциональна квадрату его относительного отверстия.

Извиняюсь за возможно неудачные обозначения... Вроде бы так.

[Mr.Selderei]

Дмитрий, спасибо за ссылку и твой вывод! Я его рассмотрел и пришел к выводу, что путь один. Только у тебя понятия свёрнуты, за счёт этого короче. Я имею ввиду, что когда я выводил формулу, то для меня многое было не очевидно. Я себя спрашивал - "А почему освещенность пропорциональна квадрату апертуры?", "А почему она обратно пропорциональна площади изображения?" И я раскладывал эти понятия на элементарные компоненты.