Каков оптимальный размер отверстия камеры обскура?
Камера обскура это самый примитивный вариант проекционной камеры без использования оптических деталей вроде линз или зеркал. Иногда ее (в импровизированном варианте - как случайное отверстие или просвет в крыше или заборе) используют во время наблюдений солнечных затмений для того, чтобы следить за фазой затмеваемого Солнца без опасности для глаз. Камера обскура это просто отверстие в заслонке + экран защищенный от прямого и часто бокового света на который проецируется вид на внешний мир через отверстие. Экран может работать на отражение (рассматриваться со стороны заслонки) или быть полупрозрачным (молочно-матовым) для рассматривания на просвет - сзади. Картинка на экранчике как и в телескопе - перевернутая на 180 градусов. Чем отверстие (диафрагма) в заслонке больше, тем картинка на экране ярче но и более смазана (с потерей детализации). При уменьшении диаметра отверстия проекция становится темнее (меньше света), но до некоторого предела с лучшим разрешением деталей на экране. До бесконечности улучшать разрешение уменьшением отверстия не получается - кроме того, что картинка темнеет, в какой-то момент уже дифракционные явления накладывают предел дальнейшему росту детализации (разрешения) картинки на экране.Рассмотрим вопрос об оптимальном с точки зрения углового разрешения диаметре отверстия d.
Если рассмотреть точечный светящийся объект условно говоря на "бесконечности" от камеры, то при его проецировании через отверстие получится изображение в виде круга диаметром o:
o = d + L/(750*d),
где L - дистанция от заслонки с отверстием до экрана, на который происходит проекция.
Первое слагаемое - простая геометрическая проекция отверстия на экран, которая растет пропорционально росту диаметра отверстия; второе слагаемое - дифракционный диаметр, который напротив растет с уменьшением диаметра отверстия. То есть где-то посреди должно быть значение d при котором достигается минимальное значение o, и следовательно - наилучшее разрешение изображения на экране.
Вот таблица, в которой посчитан линейный предел разрешения o (мм) в зависимости от диаметра отверстия в заслонке камеры обскура d и расстояния L (мм) от заслонки с отверстием до экрана на котором рассматривают изображение.
| d\L | 1000.0 | 2000.0 | 3000.0 |
| 0.6 | 2.8 | 5.0 | 7.3 |
| 0.8 | 2.5 | 4.1 | 5.8 |
| 1.0 | 2.3 | 3.7 | 5.0 |
| 1.5 | 2.4 | 3.3 | 4.2 |
| 2.0 | 2.7 | 3.3 | 4.0 |
| 2.5 | 3.0 | 3.6 | 4.1 |
| 3.0 | 3.4 | 3.9 | 4.3 |
| 3.5 | 3.9 | 4.3 | 4.6 |
| 4.0 | 4.3 | 4.7 | 5.0 |
| 4.5 | 4.8 | 5.1 | 5.4 |
| 5.0 | 5.3 | 5.5 | 5.8 |
| 5.5 | 5.7 | 6.0 | 6.2 |
| О | 8.7 | 17.5 | 26.2 |
Если взять производную приведенного выше выражения по d, то нетрудно найти dopt - оптимальное значение диаметра отверстия при котором достигается минимальное размер пятна на изображении:
dopt = SQRT(L/750) = SQRT(L)/27 ,
где SQRT - обозначение функции корня квадратного.
Ну а минимальный диаметр пятна, которым рисуется картинка на экранчике камеры обскура:
omin = 2*SQRT(L/750) = SQRT(L)/14
Например,при размере камеры 1 метр (L = 1000 мм): omin = SQRT(1000)/14 = 2.3 мм, а размер оптимального отверстия dopt = 1.2 мм. При проекции солнечного диска (его угловой размер примерно составляет 30 угловых минут или 1/114.5 радиана) диаметр на экране камеры обскура составит D = L/114.5. Таким образом диаметр изображения диска Солнца ("солнечного зайчика") в метровой камере будет 1000/114.5 = 8.7 мм - всего в 3 раза больше пятна, которым рисуется его изображение в оптимальном случае.
Введем понятие углового разрешения камеры обскура с оптимальным размером отверстия Q (радианы)= 0.5*omin/L или Q' (угл. минуты)= 0.5*57.3*60*omin/L. Его нетрудно посчитать, следующим образом:
Q = 1/(27*SQRT(L)) (радиан)
или
Q' = 123'/SQRT(L) (угл.минут)
Например, для той-же метровой камеры разрешение составит 123'/SQRT(1000) = 4' (угл. минуты).
Формула, в частности, показывает, что с ростом продольного размера камеры (расстояния от заслонки с отверстием до экрана L) угловое разрешение Q' (в угловых минутах) при использовании оптимального диаметра отверстия dopt медленно, но растет, достигая вполне приличных значений.
| L(мм) | dopt | omin | Q' |
| 1000 | 1.2 | 2.3 | 3.9 |
| 2000 | 1.7 | 3.3 | 2.7 |
| 3000 | 2.0 | 4.1 | 2.2 |
| 4000 | 2.3 | 4.7 | 1.9 |
| 5000 | 2.6 | 5.3 | 1.7 |