Полезные оптические соотношения

Базовые понятия и термины астрономической оптики

Полезные оптические соотношения

Сообщение Ernest » 02 ноя 2009, 12:00

Увеличение телескопа


увеличение телескопа при заданном объективе и окуляре:

Г = dw'/dw = AFOV/TFOV = D/d = r·f'об/f'ок, (1)

где Г - угловое увеличение - кратность,
dw' - угловой размер изображения (после окуляра),
dw - угловой размер предмета (на "небе"),
TFOV - поле зрения телескопа (на "небе") (true field of view)
AFOV - поле зрения окуляра (каким оно видится глазу - apparent field of view)
D - диаметр входной апертуры телескопа,
d - диаметр выходной апертуры (выходного зрачка) телескопа (окуляра),
f'об - заднее фокусное расстояние объектива телескопа,
f'ок - заднее фокусное расстояние окуляра,
r - увеличение линзы Барлоу или коэффициент редукции компрессора, если они не используются r = 1.

Например:
  • При увеличении бинокля Г = 8х Лунный диск (dw = 0.5 градуса) будет виден в его окулярах под углом dw' = Г*dw = 8*0.5 = 4 градуса.
  • При поле зрения окуляра AFOV = 82 градуса и увеличении телескопа Г = 50х, поле зрения телескопа составит TFOV = AFOV/Г = 82/50 = 1.64 градуса или 1.64*60 = 98 угловых минут.
  • Если измеренный диаметр выходного зрачка d = 1.2 мм, а входная апертура телескопа D = 254 мм, то действующее увеличение в отсутствие обрезания апертуры должно быть Г = D/d = 254/1.2 = 211х.
  • Если диаметр входной апертуры телескопа D = 102 мм, а увеличение телескопа составляет 50х, то диаметр выходного зрачка должен быть d = D/Г = 102/50 = 2.04 мм.
  • Если фокусное расстояние телескопа f'об = 1200 мм и применен окуляр с фокусным расстоянием f'ок = 20 мм с линза Барлоу увеличением г = 2х, то совокупное увеличение телескопа составит Г = г*f'об/f'ок = 2*1200/20 = 120 крат.


Увеличение линзы Барлоу или коффициент редукции


увеличение линзы Барлоу (во сколько раз увеличится фокусное расстояние объектива с линзой Барлоу) или во сколько раз уменьшится фокусное расстояние объектива с положительным редуктором):

r = (f' - L)/f', (2)

где f' - фокусное расстояние редуктора (положительная величина) или линзы Барлоу (отрицательная),
L - расстояние от редуктора или линзы Барлоу до плоскости изображения, которое она строит (положение полевой диафрагмы окуляра или фотоприемника).

Стоит отметить, что f' линзы Барлоу примерно можно определить из той-же формулы: f' = -L0/(r0 - 1), где L0 нетрудно измерить - обычно это просто длина конструкции ЛБ (от стекла линзы до торца окулярной втулки), а r0 - заявленная кратность ЛБ. Тогда для достижения большей кратности r1 следует вставить между торцом ЛБ и окуляром проставку (втулку) длиной L1 = -f'·(r1 - r0) = L0·(r1 - r0)/(r0 - 1)

Можно выразить коэффициент увеличения (редукции) и из переднего отрезка (расстояние от линзы Барлоу/редуктора до положение фокуса):

r = f'/(f' + S), (2')

где S - расстояние от редуктора или линзы Барлоу до плоскости изображения объектива телескопа

Фокусное расстояние линзы Барлоу


Зная расстояние между плоскостью изображения телескопа и плоскостью изображения линзы Барлоу нетрудно из формулы тонкой линзы определить ее фокусное расстояние:

f' = -d*r/(r-1)2, (2")

где

d, мм - расстояние от плоскости изображения телескопа (положения полевой дифрагмы окуляра или другого фотоприемника в отсутствии линзы Барлоу) до плоскости изображения с установленной линзой Барлоу (обычно d = h -pок + p, где h - высота втулки линзы Барлоу, pок - параметр парфокальности окуляра, p - параметр парфокальности окуляра с линзой Барлоу);
r - кратность линзы Барлоу

Например, высота втулки линзы Барлоу 35 мм, параметр парфокальности окуляра 0, параметр парфокальности окуляра с Барлоу +5 мм, увеличение линзы Барлоу 2.1х (например, измерена по звездам видимым в поле зрения). Фокусное расстояние составит f' = -(35-0+5)*2.1/1.12 = -40*2.1/1.21 = -69.4 мм

Фокусное расстояние пары линз


эквивалентное фокусное расстояние пары линз (например, окуляров, установленных в фокусер телескопа друг за другом для получения сверх-увеличений - своего рода окулярного микроскопа)

f' = f'1·f'2/z, (3)

где f'1 и f'2 - фокусные расстояния линз (в случае тандема из окуляров 1 - первого ближнего в объективу, который играет роль микрообъектива, 2 - того, который ближе к глазу),
z - расстояние между задним фокусом перовой и передним фокусом второй линз (для тандема из окуляров от выходного зрачка первого до полевой диафрагмы второго).

фокусное расстояние f' пары тонких линз с фокусными f'1 и f'2 в расстоянием между ними d можно найти также по следующей формуле:

1/f' = 1/f'1 + 1/f'2 - d/(f'1*f'2)
или
Ф = Ф1 + Ф2 - d*Ф12/1000

где Ф, дптр - суммарная оптическая сила пары линз (Ф, диоптрии = 1000/f', где фокусное расстояние задано в миллиметрах),
Ф1, Ф2, дптр - оптические силы тонких линз (со знаком минус для рассеивающих),
d, мм - расстояние между линзами вдоль оптической оси

Формула отрезков для тонкой линзы в воздухе


связь между расстоянием от объекта до линзы (главной плоскости оптического прибора) и от линзы (ее задней главной плоскости) до изображения объекта

1/f' = 1/s' - 1/s, (4)

где f' - заднее фокусное расстояние линзы,
s' - расстояние от линзы (задней главное плоскости линзы) до изображения (изображение справа от линзы - s'>0, слева - s'<0),
s - расстояние от линзы (передней главной плоскости) до объекта (объект справа от линзы - s>0, слева - s<0).

Линейное увеличение для тонкой линзы в воздухе


увеличение изображения по отношению к изображаемому линзой объекту

Г =y/y' = s'/s = f'/(f' + s) = (s' - f')/s', (5)

где y - размер предмета (поперек оптической оси),
y' - размер изображения этого предмета в линзе,
s',s - см. выше.

Формула Ньютона для тонкой линзы или зеркала в воздухе


связь между расстоянием от предмета до переднего фокуса и от заднего фокуса линзы до изображения, которое она строит

z·z' = -f'2, (6)

где z = f' + s - расстояние от переднего фокуса до предмета (если предмет справа от фокуса, то z>0 и наоборот),
z' = s' - f' - расстояние от заднего фокуса до изображения (если изображение справа от фокуса, то z'>0 и наоборот)

Инвариант Лагранжа-Гельмгольца в параксиальной области


следствие законов сохранения энергии - связь между апертурными и полевыми характеристиками световых пучков при прохождении ими оптического прибора (чем больше апертурный угол, тем меньше размер изображения и наоборот)

y·a·n = const, (7)

где a - апертурный угол, отношение высота апертурного луча на линзе к расстоянию от осевой точки предмета/изображения до линзы,
y - размер предмета/изображения (включая промежуточное),
n - показатель преломления среды в которой измерены y и а

Формулы расчета параксиального луча через поверхности


может быть использована для расчета лучей через линзы и зеркала без учета аберраций (например при расчетах габаритных характеристик оптики, светозащитных диафрагм, виньетирования и т.д.)

a' = n·a/n' + h·(n'-n)/(R·n') (8)
h' = h - a'·d (9)

где a,a' - углы хода луча (между осью и лучом в радианах) до и после преломления на поверхности (угол положительный при повороте против часовой стрелки от оси),
n,n' - показатели преломления сред до и после поверхности (положительны при ходе лучей слева направо и отрицательны в обратном ходе, например после отражения),
h,h' - высота пересечения лучом текущей и следующей оптической поверхности (вверх - положительное значение),
d - расстояние от текущей до следующей поверхности (имеет знак показателя преломления),
R - радиус кривизны текущей оптической поверхности (для плоскости обращается в бесконечность, а следовательно обнуляется все слагаемое)

Формулы расчета параксиального луча через тонкую линзу


может быть использована для расчета нулевых лучей (не учитывающих аберраций) через линзы в приближении тонкой линзы в воздухе

a' = a + h/f' (10)
h' = h - a'·d (11)

Фокусное расстояние тонкой линзы в воздухе


оптическая сила тонкой линзы в воздухе из ее конструктивных параметров (радиусы, толщина и показатель преломления стекла)

Ф, дптр = 1000/f' = 1000*(n-1)*(1/r1-1/r2+d·(n-1)/(r1·r2·n)), (12)

где n - показатель преломления материала линзы,
f' - фокусное расстояние линзы в мм,
r1 и r2 - радиусы кривизны поверхностей в мм (r<0 если центр кривизны слева от линзы и наоборот, если справа, для плоской поверхности 1/r = 0),
d - толщина линзы в мм.

Увеличение микроскопа


увеличение классического микроскопа, состоящего из положительных микробъектива и окуляра

Г = Гоб·Гок = (L/f'об)·(250/f'ок), (13)

где Г - увеличение микроскопа (отношение угла под которым виден предмет без оптики на расстоянии наилучшего зрения 250 мм и в окуляр микроскопа),
Гоб - линейное увеличение микрообъектива (более точно см. формулу увеличение линзы),
Гок - увеличение окуляра (лупы) = 250/f'ок*,
L - длина тубуса микроскопа (примерно равно расстоянию между объективом и окуляром, точнее от задней фокальной плоскости объектива до полевой диафрагмы окуляра, наиболее обычное значение 160 мм),
f'об, f'ок - фокусные расстояния окуляра и объектива микроскопа.

* иногда увеличение и фокусное расстояние окуляра связывают между собой формулой: Гок = 250/f'ок + 1 или f'ок = 250/(Гок - 1)

Поле зрения объектива (телескопа)


угловое поле зрения объектива телескопа или другого оптического прибора исходя из линейного размера изображения (диаметра полевой диафрагмы окуляра, диаметра фокусера, размера кадра фотоприемника)

2W = 2·arctg(Y'/f') = 2W'/Г = 2W'*f'ок/f' ~ 2Y'/f', рад = 2Y'·180/(п·f'), град = 2Y'·180·60/(п·f'), угл. минут (14)

где 2W - полное поле зрения телескопа (TFOV) - какую часть небесной сферы видной в телескоп,
Y' - полудиагональ кадра или половина диаметра (радиус) полевой диафрагмы (окуляра) - линейное поле зрения объектива телескопа,
f' - заднее фокусное расстояние объектива (фотоаппарата или телескопа),
2W' - полное угловое поле зрения окуляра (AFOV) - то под каким углом глаз видит картинку (от края до края полевой диафрагмы) в окуляре,
Г - увеличение телескопа,
п=3.1415926

Расчет фокусного расстояние астрографа из требуемого разрешения


требуется в первую очередь для правильного подбора телеэкстендеров (линз Барлоу) при планетной съемке, но можно использовать и в иных случаях для правильного подбора фокусного расстояния объектива.

f' = 200·K·d/ф (мм) (15)

где ф - требуемое от снимка угловое разрешение (в пределе можно положить ф = 120"/D) в угловых секундах (понятно что это разрешение надо как-то обеспечить - это и качество изображения объектива, качество гидирования и атмосферы и т.д.);
d - размер пиксела приемника изображения в мкм (при пикселе 6.4х6.4 мкм, d = 6.4 мм);
K - коэффициент дискретизации, учитывающий потери разрешения вследствие пикселизации изображения, величина K для монохромных приемников лежит в диапазоне 3-4, для цветных матриц следует брать 4-7.

Полученное фокусное расстояние f' "вытягивают" из фокусного имеющегося объектива f'об с помощью телеэкстендеров и линз Барлоу (если надо увеличить) или с помощью компрессоров (если надо уменьшить). При окулярной съемке f' = f'об · Г, где Г - увеличение окулярной камеры (см. ниже).
_______________________
Если дойти до конца, то требуемый коэффициент увеличения (кратность экстендера или Барлоу для достижения наивысшего разрешения) составит:

Г = 200·K·d/(ф*f'об) = 200·K·d/(120"*f'об/D) = 1.7·K·d·D/f'об = 1.7·d·K/k или примерно = 2·K·d/k

где K = 3-4 для ч/б матриц, 5-7 для цветных; d - размер пикселя в мкм, D - апертура телескопа с мм, f'об - фокусное расстояние, 1:k - относительное отверстие телескопа (k - относительное фокусное расстояние).

Например, при 1 мкм пикселе ч/б приемника и относительном 1:6 получается 1.7·1·3.5/6 = 0.99 крат - то есть дополнительное увеличение для вытягивания самых тонких деталей изображения не требуется.

Увеличение окулярной камеры


увеличение изображения по сравнению с тем что дает объектив телескопа при съемке "за окуляром"

Г1 = f'об/f'ок (16)
Г2 = L/f'ок (17)

где Г1 - увеличение при съемке за окуляром с фокусным расстоянием f'ок камерой, объектив которой имеет фокусное расстояние f'об;
где Г2 - увеличение при проецировании изображения через окуляр с фокусным расстоянием f'ок прямо на приемник располагающийся на расстоянии L от выходного зрачка окуляра;

Расчет фокусного расстояние астрографа из требуемого поля зрения


в тех случаях, когда надо вписать некоторый астрономический объект точно в кадр известных линейных размеров:

f', мм = y'/w(рад) = 57.4·y'/w(градусы) = 3438·y'/w(угл. минуты) = 206265·y'/w(угл. сек.) (18)

где y', мм - размер изображения на приемнике (малая сторона приемника, если фотографируемый предмет будет вписан в кадр);
w - угловой размер предмета на небе в радианах, градусах, угл. минутах или секундах.
* - верно для размеров предмета до 10-15 градусов.

Визуальное проницание телескопа


эта в общем-то примерная формула дает представление как зависит звездная величина самых тусклые звезд, которые можно увидеть в телескоп (бинокль), от его апертуры и от применяемого увеличения.

Mmax = Mo + 2.5·(lg(D) + lg(Г)) = Mo + 5·lg(D), (19)

где
Mo некоторая константа характеризующая светопотери в оптике, прозрачность и спокойствие атмосферы, уровень засветки фона, качество изображения, опыт наблюдателя, расположение звезды на небе и т.п., для типично-посредственных значений этих факторов Mo = 2.5-3.0. Для хорошего неба и оптики Mo может быть увеличен до 3.5. В идеале Mo может достигать примерно 4.2;
D - диаметр апертуры телескопа в мм;
Г - увеличение телескопа в диапазоне D/6 ... 1.4·D;
вторая часть формулы Mo + 5·lg(D) может быть использована для оценки проницания для данной апертуры с оптимально подобранным увеличением.

"Поверхностная яркость"


Так называемая "поверхностная яркость" равно яркого протяженного эллиптичного по форме объекта размером axb угл. минут составит

S' = m + 2.5·lg(π·a·b/4) зв. величин с квадратной угл. минуты (20)
S" = m + 8.89 + 2.5·lg(π·a·b/4) зв. величин с квадратной угл. сек. (21)

где m - интегральная звездная величина объекта, а π = 3.1415926.

Связь предельной звездной величины видимой невооруженным глазом mlim и средней яркости фона неба


S' = 0.37·mlim2 - 2.8·mlim + 15.30 зв. величин с квадратной угл. минуты (22)
S" = 0.37·mlim2 - 2.8·mlim + 24.2 зв. величин с квадратной угл. сек. (23)

Яркость ночного неба (фон) видимый в окуляре при телескопических наблюдениях:

S't = 5·{lg(Г/D) - lg(t)}+ 0.37·mlim2 - 2.8·mlim + 19.68 зв. вел. с квадратной угл. мин. (24)
S"t = 5·{lg(Г/D) - lg(t)}+ 0.37·mlim2 - 2.8·mlim + 28.57 зв. вел. с квадратной угл. сек. (25)

где Г - увеличение, D - диаметр апертуры в мм, t - пропускание (примерно 0.85 для рефракторов и 0.7 для рефлекторов)

Уточненное визуальное проницание телескопа по Лапасио:

Mmax = -22.8 + 1.8·S"t - 0.03·S"t2 + 5·lg(D) + 2.5·lg(t) (27)

Расчет величины диоптрийной регулировки


Для компенсации близорукости наблюдателя требуется по сравнению с нормальным глазом перефокусировка (смещение вдоль оптической оси) окуляра в телескопе на величину:

z = f'ок2*d/1000, (28)

где z, мм - величина смещения окуляра по сравнению с "нормальным" глазом (для компенсации близорукости мы смещаем окуляр ближе к промежуточному изображению, создаваемому объективом),
f'ок, мм - фокусное расстояние окуляра,
d, дптр - величина близорукости в диоптрийной мере

Расчет гиперфокального расстояния объектива ограниченного только дифракцией


H = 2*D2, (29)

где
H - дистанция до объекта в метрах, который будет изображен еще резко при установке фокусировки астрографа на "бесконечность" (фотография с приемником в заднем фокусе объектива),
D - диаметр апертуры дифракционно ограниченного астрографа в миллиметрах

Например, при фокусировке по "звезде" 200 мм астрограф будет изображать достаточно резко все объекты расположенные на расстоянии не менее 2*200*200 = 80000 метров (80 км) от объектива.

Интересно, что если сфокусироваться не на "бесконечность", а по объекту на гиперфокальном расстоянии H, то глубина резко изображаемого пространства составит диапазон расстояний от H/2 до "бесконечности"

Максимальная чувствительность фокусировки объектива дифракционного качества


Дифференцированием формулы стрелки (W = D2/(8*S)) получаем:
dS = 8·k2·λ/N (30)

где
dS, мкм - такое продольное смещение (вдоль оптической оси) плоскости фиксации изображения от плоскости наилучшей фокусировки при котором деформация волнового фронта из-за расфокусировки становится λ/N,
k - относительное фокусное расстояние объектива (для объектива 1:10 k=10),
λ, мкм - длина световой волны, середины рабочего спектрального интервала объектива,

для λ = 0.55 мкм (середина визуального диапазона) полный диапазон смещения фотоприемника в пределах которого деформация волнового фронта не превышает 1/4λ считается очень просто:

2*dS, мкм = 2·k2 (31)

Например, для объектива 1:10 чувствительность фокусирующего устройства должна обеспечивать точность фокусировки порядка dS = 2·10·10 = 200 мкм или 0.2 мм

Максимальный диаметр тела свечения искусственной звезды



Для тонкой юстировки и исследования оптики телескопа диаметром апертуры D (мм) диаметр d (мм) отверстия в фольге (диафрагма) которая закрывает источник света (обычно светодиод) искусственной звезды, расположенной на расстоянии L (м) должен быть не больше следующей величины:

d = 0.5*L/D (32)

Например, при установке искусственной звезды на расстоянии 100 метров и тестировании по ней 8" (200 мм) телескопа диаметр отверстия в фольге должен быть не больше 0.25 мм


Назад к оглавлению статей
Аватара пользователя
Ernest
Основатель
 
Сообщения: 9312
Зарегистрирован: 12 окт 2009, 10:55
Откуда: Санкт-Петербург, Бухарестская, д.33, к.1

Вернуться в Оптические формулы и понятия

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1