Как измерить фокусное расстояние.

[Ernest]

Как измерить фокусное расстояние

...окуляра, фотообъектива или какого-нибудь другого оптического узла?

Фокусное расстояние часто путают с другим оптическим термином: задним фокальным отрезком. Это разные величины (см. статью "Базовые характеристики оптических приборов"). Фокусное расстояние определяет масштабную передаточную характеристику объектива (размер изображения и его увеличение или уменьшение относительно исходного), а задний фокальный отрезок - расстояние от последней оптической поверхности до фокальной плоскости (плоскости где формируются резкие изображения бесконечно удаленных предметов). А иногда человеку нужно знать просто положение фокальной плоскости относительно какой-то механической детали (например какого-нибудь опорного торца на оправе оптического узла). Важно понять что именно интересует.

Задний фокальный отрезок, как и положение фокальной плоскости измерить не трудно - достаточно в ясный день с помощью объектива сфокусировать изображение солнца на достаточно прочном (для теплового воздействия) экранчике и измерить положение этого экрана относительно интересующей базы (если относительно последней оптической поверхности - то получится задний фокальный отрезок). Если Солнце за облаками и не удается подобрать достаточно яркий контрастный предмет на "бесконечности" можно измерить задний отрезок (положение плоскости изображения) для не слишком далекого предмета на расстоянии L. Изображение в этом случае сфокусируется немного дальше от истиной фокальной плоскости, сдвинувшись вдоль оси примерно на расстояние f²/L - где f - фокусное расстояние объектива (см. ниже). Чем больше L - тем точнее будет результат вычислений.

Например:
Изображение окна сфокусировалось от опорной плоскости объектива на расстоянии 60 мм, фокусное расстояние объектива 50 мм, от объектива до окна 3600 мм, истинная фокальная плоскость располагается на 2500/3600 = 0.7 мм ближе к объективу, чем измерено по сфокусированному изображению окна.

С фокусным расстоянием труднее. Обычно также рекомендуют измерить расстояние от линзы до сфокусированного изображения Солнца. Но точным этот результат будет только для выпукло-плоских одиночных линз достаточно задиафрагмированных, чтобы сферическая и проч. ее аберрации не сильно влияли на результат измерения.

Уже для двухлинзового, а тем более многолинзового или зеркального объектива этот метод натыкается на простой казалось бы вопрос: "От чего его измерять?" Объектив ведь не точка и не лист бумаги - он имеет вполне осязаемый продольный размер... Для того, чтобы получить фокусное расстояние измерять нужно от задней главной плоскости, но это ведь такая-же расчетная абстракция, как и само фокусное расстояние - ее не так просто найти в реальном оптическом узле.

Для таких случаев скорее подойдет другой более универсальный метод - измерения фокусного расстояния по увеличению. Если объектив (окуляр, лупа и т.п. интересующая нас положительная оптика) имеет небольшое фокусное расстояние, то измерение можно провести проецируя и добиваясь резкого изображения какого-либо светящегося предмета - например окна в комнате (картинка со схемой измерения кликабельна).

Измерив достаточно точно поперечный размер изображения окна (высоту или ширину) y', расстояние от окна до объектива L, и сам размер окна y, мы будем иметь все необходимое для вычисления фокусного расстояния объектива f':

f' = L*y'/(y + y')

Например:
Изображение окна имеет высоту 28 мм, а само окно (в 3.6 м от объектива ) размер 2000 мм. Получается, что фокусное расстояние объектива будет равно 3600*28/2000 = 50.4 мм

Стоит, отметить следующие важные обстоятельства:

• точность полученной величины будет тем выше чем точнее измерены входящие в формулу величины. Так что стоит добиваться изображения светящегося предмета по-больше и измерять его по-точнее;
• точность метода ограничивается величиной дисторсии оптического узла - ее влияние тем меньше, чем меньше размер изображения по сравнению с фокусным расстоянием;
• если подходить строго, то L - это расстояние от светящегося объекта до главной плоскости объектива (оптического узла), для тонкой линзы главная плоскость лежит примерно посреди нее, для более сложных оптических систем ее положение более неопределенно (как у окуляра) удобнее производить измерения от фокальной плоскости, положение которой часто определить проще (у окуляра - стык посадочной втулки и корпуса), в этом случае формула даже немного упростится f' = L*y'/y;
• смотрите также статью "Окуляр"

---

Назад к оглавлению статей

[Ernest]

По величине дефокусировки

(1) на большом ("планетном") увеличении возможно точнее фокусируем телескоп по предмету на "бесконечности" (что такое практическая "бесконечности" см. ниже)
(2) фиксируем положение подвижной трубки фокусера (по шкале, а лучше штангенциркулем по выдвижению трубки относительно корпуса фокусера)
(3) переносим фокус телескопа на предмет расположенный на конечном и измеримом рулеткой или другим достаточно точным образом расстоянии - Z (мм)
(4) возможно точнее (опять-же штангенциркулем) измеряем разницу в положении окуляра при фокусировке на конечное и бесконечное расстояние - Z' (мм)
(5) ну и собственно, считаем фокусное расстояние телескопа в мм по формуле Ньютона (f'² = Z*Z') как корень квадратный из Z*Z'

Проблемы

• Z надо измерять не от оправы объектива, а от его переднего фокуса (точки перед объективом в которую надо установить точечный источник света, чтобы из объектива телескопа вышел параллельный пучок света). Для нахождения этой точки придется поэкспериментировать с фонариком, светодиодом (в прямом ходе) или солнечным светом (в обратном ходе);
• для телескопов, которые фокусируются подвижками внутренних компонентов (типа главного зеркала) п.(3) надо производить не используя штатный фокусер, методом выдвижения окуляра из окулярной втулки диагонального зеркала или другим подобным образом, который не меняет значение фокусного расстояния объектива (что происходит при внутренней фокусировке);
• предмет для фокусировки на "бесконечность" должен быть расположен далее f'²/dZ' (к примеру, для телескопа с фокусным около 1 метра и точности измерения положения окуляра 0.1мм = 0.0001м, практическая бесконечность будет на расстоянии 1/0.0001 = 10000 м или 10 км - фактически на горизонте, а лучше какой-то небесный объект);
• следует иметь ввиду, что точность определения положения окуляра ограничена не столько измерительными средствами, но и по меньшей мере дифракцией и для телескопа с относительным отверстием 1:k составляет k² мкм (скажем, для телескопа 1:10 это будет 10*10 = 100 мкм или 0.1 мм) а с учетом аберраций, аккомодации и чувствительности ручки фокусера еще и шире.

Оценка точности метода
dF = (1.4*Z*dZ'+Z'*dZ)/2F

К примеру, если для перефокусровки на конечное расстояние Z = 100 м (100000 мм, измеренное с точностью dZ = 0.5 м = 500 мм), требует смещения окуляра Z' = 20 мм (с точностью dZ' = 0.1 мм), то фокусное расстояние телескопа 1414.2 мм с точностью около (1.4*100000*0.1 + 20*500)/2/1414.2 = 8 мм

[Ernest]

Метод суточного дрейфа

(1) дожидаемся ясной ночи, выносим и готовим телескоп для наблюдений
(2) устанавливаем окуляр со средним значением фокусного расстояния и с открытой измерениям полевой диафрагмой (без предфокального компонента), скажем, измеренный диаметр отверстия в полевой диафрагме составляет D (мм)
(3) наводим телескоп на звезду вблизи небесного экватора типа дельты Близнецов и определяем, какое время ей понадобится, чтобы диаметрально пересечь все поле зрения данного окуляра при выключенном часовом двигателе. Делаем 3-4 измерения, считаем среднее, получилось, скажем, t (сек)
(4) теперь делаем как будто бы нехитрый расчет:
- за время t (сек) Земля поворачивается на t/4 угловых минут, то есть поле зрения телескопа с этим окуляром составит t/4 угловых минут
- при фокусном расстоянии окуляра f' (мм) поле зрения для полевой диафрагме диаметром D (мм) составит 57.3*60*D/f' угловых минут
- приравнивая эти две величины получаем 57.3*60*D/f' = t/4, откуда следует: f' = 4*57.3*60*D/t = 13752*D/t

Уточняющее замечание: угол поля зрения равный t/4 - это из расчета одного оборота звезд за 24 часовые сутки, но 24 часа это солнечные сутки! Относительно звезд вращение Земли быстрее на 1/365 долю - полный оборот 0,997269 от солнечных суток, так что в реальности угол поля зрения составит примерно 1.0027*t/4 и с учетом этой поправки числовой коэффициент в формуле имеет смысл немного скорректировать: f' = 13713.5*D/t

Например, наблюдаем с окуляром Эрфле с диафрагмой диаметром D = 20 мм, диаметральное прохождение звезды за t = 280 секунд. Получаем фокусное расстояние телескопа f' = 13752*20/280 = 982 мм (а с учетом замечания 13713.5*20/280 = 980.5 мм)

Точность результата зависит от точности измерения времени dt (надо добиться именно диаметрального прохождения звезды, да еще с фокусировкой при которой промежуточное изображение звезды фокусируется как можно точнее на краю диафрагмы) и точности измерения диаметра полевой диафрагмы dD (лучше использовать цифровой штангенциркуль). И тогда погрешность в определении фокусного расстояния составит примерно dF = F*(dD/D + dt/t)

К примеру, для предыдущего случая, если мы измерили диаметр полевой диафрагмы с точностью 0.1 мм, а время получилось с точностью 3 секунды: погрешность в длине фокусного расстояния получается dF = 982*(0.1/20 + 3/280) = 15 мм

На самом деле и в этом методе есть сумма проблем

• покрытие звезды диафрагмой не мгновенное событие, на краю поля зрения изображение звезды испорчено аберрациями объектива и изображение звезды при покрытии ее краем диафрагмы в лучшем случае будет выглядеть как Луна в фазе первой четверти, а скорее еще и хуже. Возникает проблема с неопределенностью времени покрытия, придется ориентироваться или на время когда блеск изображения звезды уменьшится вдвое. Таким образом возникает некий произвол.
• еще труднее с появлением звезды из-за полевой диафрагмы - к этому событию трудно приготовиться, легко пропустить, нажать на кнопку старта позже чем это произошло на самом деле.
• звезда может пройти через поле зрения по хорде, немного за меньшее время, чем при диаметральном проходе
• полевая диафрагма окуляра обычно не вполне точно располагается в фокусе окуляра - из тех что есть надо для такого измерения выбрать тот, который дает резкое изображение края диафрагмы
• обычно объектив телескопа не свободен от дисторсии, в то время как метод предполагает равенство увеличения по всему полю зрения, Ошибка в расчетном фокусном расстоянии из-за может составлять 1-2% и более. Поэтому не рекомендуется использовать окуляры со слишком уж большим диаметром поля зрения.

[Ernest]

Фотографический метод

(1) сфотографировать в прямом фокусе объектива с неизвестным фокусным расстоянием две звезды с известным угловым расстоянием между ними φ (в радианах)
(2) измерить расстояние между центрами изображений этих звезд на полученном кадре в пикселях N
(3) посчитать это расстояние в мм y = N*px/1000 (где px - шаг между пикселями в мкм)
(4) и, наконец, получаем фокусное расстояние объектива в мм: f' = y/φ (или при коротком фокусном расстоянии по более точной формуле f' = 0.5*y/tg(φ/2))

Проблемы и трудные места метода

• если на снимке получились изображения нескольких звезд (типа как на снимке Плеяд), то следует выбрать те две, которые однозначно идентифицируются, имеют надежные значение угловых координат, чьи изображения минимально искажены (выглядят радиально симметричными) и не очень жирные, располагаются достаточно удаленно друг от друга (но не на самых краях кадра, где дисторсия максимальна)
• в качестве эталона углового расстояния можно использовать диаметр Луны (лучше, когда она повыше над горизонтом), только сверившись в компьютерном планетарии с ее реальным угловым диаметром на момент съемки
• для перевода угловых координат в радианы x = 3.1415926*(градусы + (минуты + секунды/60)/60)/180 или 3.1415926*(часы + (минуты + секунды/60)/60)/12
• угловое расстояние между звездами с известными координатами δ (склонение) и α (часовой угол, прямое восхождение) определяется по формуле φ = acos(sin(δ₁)*sin(δ₂) + cos(δ₁)*cos(δ₂)*cos(α₁-α₂))
• расстояние между центрами звезд или концами диаметра Луны в пикселях можно посчитать по теореме Пифагора N = корень(число пикселей по вертикали² + число пикселей по горизонтали²)
• шаг между пикселями в мкм обычно приводят в спецификациях очень грубо типа 2мкм или 3.2мкм то есть с очень небольшой точностью, которая приведет к большой погрешности в определении фокусного расстояния. Следует взять линейный размер чувствительной части приемника и не полениться и разделить на число пикселей вдоль этого измерения, чтобы получить более точное значение px
• точность будет выше, если фотографировать через зеленый фильтр

Оценка точности метода

Формально точность метода можно оценить как df' = f'*(dy/y + dφ/φ), где dy и dφ - погрешность определения (измерения) размера на изображении и в угловой мере